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阿贝尔：因为没钱，所以文章精炼。因为发表文章跟钱有关。
阿贝尔对雅克比说：“假设一个初始速度为零的质点沿着一条光滑的曲线在重力场中下落。该质点在重力场中下落高度为h.如果曲线的形状已知，那么我们就可以用微积分的方法计算出质点沿着该曲线下降高度h所需的时间t(h).”
雅克比说：“这是个很简单的问题啊，有什么可研究？”
阿贝尔说：“我考虑的是反问题，已知质点下降高度h所需的时间是t(h)，问如何确定这条曲线的形状？”
雅克比说：“知道时间，直接去求曲线形状，这个有意思，也有挑战性，需要考虑各种情况呢。”
阿贝尔说：“这一般会需要一种积分方程，因为积分方程往往考虑的就是反问题。假如傅立叶展开已知，如何计算原函数。这就需要积分方程去解决。”
雅克比说：“积分方程通常会有一个核函数，有很大一类积分方程的问题是，已经知道了一个函数跟核函数的卷积，如何求出这个函数。”
阿贝尔说：“如果用现代数学的语言来描述，这就相当于已知一个算子作用在一个函数上的结果，如何求出这个原函数。”
雅克比说：“答案就是求出这个核函数或者算子的逆，把这个逆作用在已知的结果上，就得到了那个原函数。这个思路跟线性代数解方程求逆矩阵很像，于是就可以把函数类比做矢量，核函数或者算子类比做矩阵，卷积类比做矩阵与矢量的乘法。这里只是一个粗糙的类比。这种类比一旦严格化泛函分析就出现了。”
阿贝尔说：“例如如何计算一个函数的长度，或者叫范数，如何计算一个算子的逆，如何定义两个函数的夹角，如何计算函数的投影，如何对函数做正交基展开，如何保证求积分的时候不发散。”
后来两个人开始计算质点下降高度h所需的时间是t(h)，问如何确定这条曲线的形状的问题，最后求出是摆线。